Sistem persamaan linear adalah himpunan beberapa persamaan linear yang saling terkait, dengan koefisien-koefisien persamaan adalah bilangan real. Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah sistem persamaan yang terdiri dari dua atau lebih persamaan linear serta mempunyai dua variable.

Ciri-ciri sistem persamaan linear dua variabel.

· Merupakan sistem persamaan linear .

· Memuat persamaan dengan dua variabel.

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel x dan y adalah:

Dengan a, b, c, p, q, dan a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, dan c₂ merupakan bilangan-bilangan real. Jika c₁ = c₂ = 0 maka SPLDV itu dikatakan homogen, sedangkan jika c₁ ≠ 0 atau c₂≠ 0 maka SPLDV itu dikatakan tak homogen.

Contoh-contoh SPLDV homogen :

ii)

iii)

Contoh-contoh SPLDV tak homogen :

ii)

iii)

2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu SPLDV dengan dua peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya dengan menggunakan :

a. Metode Grafik

b. Metode Subtitusi

c. Metode Elimminasi

d. Metode eliminasi substitusi

a. Metode Grafik

Grafik persamaan linear berbentuk garis lurus, dengan menggunakan sifat-sifat dua garis berpotongan, dua garis sejajar, dan dua garis berhimpit maka banyaknya anggota dari himpunan penyelesaian SPLDV

Dapat ditetapkan sebagai berikut :

a) Jika

, maka SPLDV tepat memiliki satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

b) Jika

dan

, atau

, maka SPLDV tidak memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

c) Jika

dan

, atau

, maka SPLDV memiliki anggota yang tak hingga banyaknya.

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dengan SPLDV dengan memakai metode grafik adalah

Langkah 1

Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat dari persamaan 1 dan 2

Langkah 2

Menentukan titik potong antara persamaan 1 dan 2

· Jika kedua garis berpotongan pada satu titik, maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota.

· Jika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota atau dapat dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, ditulis

· Jika kedua garis berhimpit, maka himpunan penyelesaiannya meiliki anggota yang tak hingga banyaknya.

Contoh 1

Carilah himpnan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut!

Jawab:

a. Persamaan 1 :

· Titik potong terhadap sumbu x adalah dititik (2, 0)

· Titik potong terhadap sumbu y adalah dititik (0, 2)

Persamaan 2 :

Garis melewati titik pusat O(0,0)

Grafik persamaan-persamaan

dan

diperlihatkan pada gambar, kedua garis berpotongan di titik P(1,1). Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV itu adalah

Gambar 1. Grafik himpunan penyelesaian sistem

persamaan x + y = 0 dan x + y = 2

b. Persamaan 1 :

· Titik potong terhadap sumbu x adalah dititik (1, 0)

· Titik potong terhadap sumbu y adalah dititik (0, 1)

Persamaan 2 :

· Titik potong terhadap sumbu x adalah dititik (2, 0)

· Titik potong terhadap sumbu y adalah dititik (0, 2)

Grafik persamaan-persamaan

dan

diperlihatkan pada gambar, kedua garis itu sejajar. Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV itu tidak memiliki anggota, atau himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong ditulis

Gambar 2. Grafik himpunan penyelesaian sistem

persamaan x + y = 1 dan x + y = 2

c. Persamaan 1 :

· Titik potong terhadap sumbu x adalah dititik (1, 0)

· Titik potong terhadap sumbu y adalah dititik (0, 1)

Persamaan 2 :

· Titik potong terhadap sumbu x adalah dititik (1, 0)

· Titik potong terhadap sumbu y adalah dititik (0, 1)

Grafik persamaan-persamaan

dan 2

diperlihatkan pada gambar, kedua garis itu berhimpit. Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV itu memiliki anggota yng tak hingga banyaknya.

Beberapa diantaranya adalah (-2, 3), (-1. 2) (0. 1) (1, 0) dan (2, -1). Himpunan penyelesaiannya dapat ditulis :

Gambar 3. Grafik himpunan penyelesaian sistem

persamaan 2x +2 y = 2 dan x + y = 1

b. Metode Eliminasi

Penyelesaian SPLDV dua peubah dengan metode eliminasi dapat ditentukan sebagai berikut.

Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y sedangkan nilai y dicari dengan cara mengeliminasi peubah x.

Contoh 2

Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut:

Jawab:

Untuk mencari nilai x, kita eliminasi peubah y :

Untuk mencari nilai y, kita eliminasi peubah x :

c. Metode Subtitusi

Penyelesaian SPLDV dengan metode subtitusi dapat ditentukan dengan memakai langkah-langkah berikut.

Langkah 1

Pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih yang paling sederhana), kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x.

Langkah 2

Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke persaman yang lain.

Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua variabel x dan y dinotasikan sebagai berikut.

Dengan a₁, a₂, b_1,b₂, c₁, dan c₂, adalah bilangan-bilangan real; a₁ dan b₁ tidak keduanya nol; a₂ dan b₂ tidak keduanya nol.

Dari persamaan (1) diperoleh

dan a₁ ≠ 0 maka

substitusi ke persamaan (2)

dan diperoleh :

Kemudian

substitusi ke persamaan

dan diperoleh:

Dengan demikian himpunan penyelesaianya adalah

Contoh 2

Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut!

Jawab :

a) Dari persamaan

disubtitusikan ke persamaan

, diperoleh:

Nilai x = 1 disubtitusikan ke persamaan

, diperoleh:

Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV adalah

b) Dari persamaan

disubtitusikan ke persamaan

, diperoleh:

, kedua ruas dikalikan 2

Subtitusikan nilai

ke persamaan

, diperoleh:

Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV adalah

d. Metode gabungan eliminasi dan substitusi

Metode gabungan merupakan perpaduan antara metode eliminasi dan subtitusi. Dengan metode ini persamaan linear di eliminasi terlebih dahulu, kemudian untuk menentukan variabel yang lainnya digunakan metode subtitusi.

Ongkos yang harus dibayar adalah 2 (300.000) + 2 (200.000) = 1.000.000 jadi ongkos yang harus di bayar adalah Rp 1.000.000, 00

3. Merancang Model Matematika yang Berentuk SPLDV

Untuk memahami bagaimana cara pemecah’an masalah yang berkaitan dengan model matematika yang berbentuk SPLDV, simaklah ilustrasi berikut ini.

Anggi berbelanja ke toko buku, ia membeli 4 buah buku tulis dan 1 buah pensil. Untuk itu anggi harus membayar sejumlah Rp. 5.600,00. Ditoko buku yang sama bagus membeli 5 buah buku tulis dan 3 buah pensil. Jumlah uang yang harus dibayar oleh bagus sebesar Rp. 8.400,00. Masalahnya adalah, berapa harga untuk sebuah buku tulis dan harga untuk sebuah pensil?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, masalah itu diselesaikan melalui langkah – langkah sebagai berikut:

1. Misalkan harga sebuah buku tulis adalah x rupiah dan harga sebuah pensil adalah y rupiah.	Besaran yang ada dalam masalah dinyatakan dalam variabel x dan y
2. Berdasarkan ketentuan yang ada dalam soal diperoleh hubungan: 4x + y = 5.000 dan 5x + 3y = 8.400 kedua persamaan di atas membentuk SPLDV	hubungan atau ekspresi matematika yang diperoleh. rumus SPLDV yang merupakan model matematika dari masalah
3. SPLDV yang diperoleh pada langkah 2 dapat diselesaikan dengan menggunakan salah satu metode yang pernah dipelajari (subtitusi atau eliminasi). Penyelesaiannya adalah x = 1.200 dan y = 800	Menentukan penyelesaian dari model matematika
4. Jadi, harga sebuah buku tulis Rp. 1.200 dan harga sebuah pensil Rp. 800	Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh disesuaikan dengan masalah semula

4. Latihan Soal

1) Carilah himpunan penyelesaian tiap SPLDV berikut dengan metode grafik:

Jawab:

a. Grafik persamaan-persamaan

dan

diperlihatkan pada gambar.

Gambar 4. Grafik himpunan penyelesaian sistem

persamaan x + y = -2 dan x - y = 4

kedua garis berpotongan dititik

. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

b. Grafik persamaan-persamaan

dan

diperlihatkan pada gambar.

Gambar 5. Grafik himpunan penyelesaian sistem

Persamaan3 x +3 y = 3 dan x - y = 1

Kedua garis berhimpit. Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV memiliki anggota yang tak hingga banyaknya. Beberapa diantaranya adalah

. Himpunan penyelesaiannya dapat ditulis

2) Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut dengan metode substitusi:

Jawab:

a. Dari persamaan

Persamaan

disubtitusikan ke persamaan

, diperoleh:

Nilai

disubtitusikan ke persamaan

, diperoleh:

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

b. Dari persamaan

Persamaan

disubtitusikan ke persamaan

, diperoleh:

, kedua ruas dikali 4

Nilai

disubtitusikan ke persamaan

, diperoleh:

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

3) Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut dengan metode eliminasi :

Jawab:

Nilai x dicari dengan mengeliminasi peubah y:

Nilai y dicari dengan mengeliminasi peubah x atau dengan menyubtitusikan nilai

ke persamaan

, diperoleh:

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

4) Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut dengan metode gabungan :

Jawab :

Dimisalkan

dan

, maka sistem persamaannya menjadi :

Dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 diperolah

dan

Subtitusikan nilai

ke persamaan

, diperolah:

Subtitusikan nilai

ke persamaan

, diperoleh:

Jadi, himpunaan penyelesaiannya adalah

5) Sebuah perahu yang bergerak searah arus sungai dapat menempuh jarak 46 km dalam 2 jam jika perahu tersebut bergerak berlawanan dengan arah arus sungai dapat menempuh jarak 51 km dalam 3 jam. Berapa kecepatan perahu dan kecepatan aliran sungai?

Jawab:

Diketahui :

· Kecepatan perahu, jika bergerak searah dengan aliran arus sungai adalah 46 km dalam 2 jam

· Kecepatan perahu, jika bergerak berlawanan dengan aliran arus sungai adalah 51 km dalam 3 jam

Ditanya : berapa kecepatan perahu dan kecepatan aliran air sungai?

Jawab :

Misalkan : kecepatan air sungai adalah x

Kecepatan perahu y

· Jika perahu bergerak searah aliran air sungai maka kecepatanya bertambah sebesar kecepatan aliran sungai, yaitu x + y.

Maka diperoleh model matematika sebagai berikut.

· Jika perahu bergerak berlawanan dengan aliran air sungai makakecepatannya berkurang sebesar kecepatan aliran sungai, yaitu y – x

Maka diperoleh model matematika sebagai berikut.

Dengan demikian kita peroleh sebuah sistem persamaan linear dengan variabel x dan y sebagai berikut.

Dengan metode eliminasi:

Eliminasi x :

Eliminasi y :

Dengan metode eliminasi diperoleh himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah Hp = {(3, 20)}

Kesimpulan :

· Kecepatan air sungai mengalir adalah 3 km per jam.

· Kecepatan perahu bergerak adalah 20 km per jam.

B. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (Sptldv)

1. Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)

Kalau pada persamaan kita berhubungan dengan tanda sama dengan “=”, maka pada bentuk pertidaksamaan kita akan berhubungan dengan tanda-tanda ketidaksamaan “ <, >, ≥, ≤”. Pertidaksamaan linear dua variabel didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan.

Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan bentuk persamaan linear dua variabel. Perbedaannya hanya terletak pada tanda ketidaksamaan. Berikut bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel:

Dengan :

a = koefisien dari x, a ≠ 0

b = koefisien dari y, b ≠ 0

c = konstanta

a, b dan c anggota bilangan real.

Sifat-sifat pertidaksamaan:

1. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah jika kita menambahkan atau mengurangkan suatu pertidaksamaan dngan bilangan atau suatu ekspresi matemtaika tertentu

2. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah jika kita mengalikan atau membaginya dengan bilangan positif

3. Tanda pertidaksamaan akan berbalik jika dikali atau dibagi dengan sebuah bilangan negatif

2. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel berupa pasangan titik atau koordinat (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel tersebut. Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel biasanya disajikan dalam bentuk grafik pada bidang koordinat kartesius.

Untuk menggambarkan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear pada sistem koordinat cartesius pelu diketahui persamaan garis yang memisahkan daerah penyelesaian dan daerah bukan penyelesaian.

· Tanda < atau > digambarkan sebagai garis putus-putus

· Tanda ≤ atau ≥ digambarkan sebagai garis penuh

Untuk mengetahui daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dapat menggunakan langkah berikut:

1) Ganti tanda ketidaksamaan dengan dengan tanda “=”.

2) Tentukan titik potong koordinat kartesius dari persamaan linear dua variabel dengan sumbu x dan sumbu y.

· Titik potong dengan sumbu x, jika y = 0

· Titik potong dengan sumbu y, jika x = 0

3) Gambarkan grafiknya berupa garis yang menghubungkan titik potong pada sumbu x dan sumbu y.

4) Gunakanlah sebuah titik uji untuk menguji daerah penyelesaian pertidaksamaan.

5) Berikanlah arsiran pada daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian pertidaksamaan.

Contoh soal :

1. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x + 4y ≤ 12, x, y € R !

Langkah-langkah penyelesaian :

a. Ganti tanda ketidaksamaan dengan tanda “=” sehingga diperoleh

3x + 4y = 12

b. Menentukan titik potong

· Titik potong dengan sumbu x, y = 0

3x + 4(0)= 12

3x = 12

x= 4

· Titik potong dengan sumbu y, x = 0

3(0) + 4y= 12

4y = 12

y = 3

Titik potong dengan sumbu koordinat adalah di titik (4, 0) dan (0,3).

c. Gambar grafik

Gambar 6. Grafik persamaan garis 3x + 4y = 12

Ambil titik uji (0, 0) untuk mendapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 3x + 4y ≤ 12 diperoleh :

3(0) + 4(0) ≤ 12

0 ≤ 12 (Benar)

Dengan demikian, titik (0, 0) memenuhi pertidaksamaan 3x + 4y ≤ 12. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah daerah yang diarsir.

Gambar 7. Grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x + 4y ≤ 12

2. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 5x + 3y > 15, x, y € R !

Langkah-langkah penyelesaian :

a. Ganti tanda ketidaksamaan dengan tanda “=” sehingga diperoleh

5x + 3y = 15

b. Menentukan titik potong

· Titik potong dengan sumbu x, y = 0

5x + 3(0) = 15

5x = 15

x = 3

· Titik potong dengan sumbu y, x = 0

5(0) + 3y = 15

3y = 15

y = 5

Titik potong dengan sumbu koordinat adalah di titik (3, 0) dan (0,5).

c. Gambar grafik

Gambar 8. Grafik persamaan garis 5x + 3y = 15

Ambil titik uji (0, 0) untuk mendapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 5x + 3y > 15 diperoleh :

5(0) + 3(0) > 15

0 > 12 (Tidak memenuhi)

Oleh karena (0, 0) tidak memenuhi pertidaksamaan 5x + 3y > 15 maka himpunan penyelesaiannya berada di sebelah kanan kurva. Kurva pertidaksamaan tersebut digambarkan dengan garis putus-putus. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah daerah yang diarsir.

Gambar 9. Grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan

5x + 3y > 15

3. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SptLDV)

Jika ada dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel, dan pertidaksamaan tersebut saling berkaitan maka terbentuklah suatu sistem. Sistem pertidaksamaan dua variable adalah sistem pertidaksamaan yang
terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan linear serta mempunyai dua
variable.

· Dua pertidaksamaan linear adalah:

Pertidaksamaan I :

Pertidaksamaan II :

· Kedua variabelnya adalah x dan y

· Tanda pertidaksamaan bisa salah satu dari:

> artinya lebih besar dari

≥ artinya lebih besar dari atau sama dengan

< artinya lebih kecil dari

≤ artinya lebih kecil dari atau sama dengan

Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel sebagai berikut :

1) Gambarlah setiap garis dari setiap persamaan linear dua variabel yang diberikan dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

2) Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel. Gunakan arsiran yang berbeda untuk setiap daerah yang memenuhi pertidaksamaan yang berbeda.

3) Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, yaitu daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel pada langkah sebelumnya (langkah b).

Contoh soal:

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut:

Langkah-langkah penyelesaian :

a. Gambarlah setiap garis batas dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel, yaitu

, x = 0 (sumbu y), y = 0 (sumbu x)

Gambar 10. Grafik himpunan penyelesaian 5x + 4y = 20

7x + 2y = 14

b. Gunakan titik uji (0, 0) pada setiap pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan

· 5x + 4y ≤ 20

5 (0) + 4 (0)≤ 20

0 ≤ 20 (memenuhi)

Daerah yang memenuhi pertidaksamaan berada di sebelah kiri garis 5x + 4y = 20

· 7x + 2y ≤ 14

7 (0) + 2 (0)≤ 14

0 ≤ 14 (memenuhi)

Daerah yang memenuhi pertidaksamaan berada di sebelah kiri garis 7x + 2y = 14

· x ≥ 0 dan y ≥ 0

Daerah yang memenuhi berada di kuadran 1

c. Dengan pola yang berbeda, arsirlah setiap daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel tersebut, seperti ditunjukan pada gambar berikut.

Gambar 11. Grafik daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan

4. Model Matematika

Setelah mempelajari tentang pertidaksamaan dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel, konsep yang ada pada materi tersebut akan digunakan kembali dalam memecahkan masalah program linear. Program linear merupakan salah satu bagian dari matematika terapan yang dapat digunakan dalam memecahkan berbagi macam persoalan yang timbul dalam kehidupan sehari-hari.

Permasalahan yang ada dalam kehidupan sehari-hari adalah masalah nyata yang tidak langsung berbentuk angka ataupun hitungan-hitungan matematika. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang telah dipelajari dapat diterapkan pada permasalahan sehari-hari dengan memodelkan permasalahan tersebut kedalam model matematika

Sebagai ilustrasi perhatikan permaslahan berikut.

Ilustrasi 1 :

Anak usia balita dianjurkan oleh dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 g dan 30 g. Sebuah kapsul mengandung 5 g kalsium dan 2 g zat besi, sedangkan sebuat tablet mengandung 2 g kalsium dan 2 g zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp 1.000, 00 dan harga sebuah tablet Rp 800, 00, biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah?

Solusi penyelesian permasalahan :

Untuk memodelkan permasalahan tersebut, langkah pertama dimulai dengan melakukan pemisalan. Pada maslah tersebut, ada dua obat yang dianjurkan dibeli yaitu obat kapsul dan tablet.

Misalkan : x = banyaknya kapsul yang dibeli

y = banyaknya tablet yang dibeli

Jenis	Banyak	Kalsium (gram)	Zat Besi (gram)	Harga satuan
Kapsul	x	5x	2x	1.000
Tablet	y	2y	2y	800
Pembatas		60	30

Dengan menggunakan variabel x dan y tersebut, permasalahan di atas dapat dibuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut.

Fungsi tujuan (objektif) yang digunakan untuk meminimumkan pengeluaran adalah

. Dalam merumuskan kendala-kendala tersebut, maka kita telah membuat model matematika dari suatu masalah program linear.

Model matematika dari setiap permaslahan program linear secara umum terdiri atas dua komponen, yaitu:

1. Fungsi tujuan (objektif) z = f(x, y) = ax + by

2. Fungsi kendala (berupa pertidaksamaan linear)

5. Fungsi Optimum Suatu Fungsi Objektif

Program linear sangat berguna ketika dihadapkan pada beberapa kendala-kendala tertentu yang menuntut yang menuntut kita untuk mengambil keputusan yang optimum (maksimum atau minimum). Oleh karena itu, permaslahan program linear selalu berhubungan dengan pengoptimalisasian fungsi tujuan berdasarkan kendala yang membatasinya.

Suatu program lineardua variabel x dan y memiliki satu fungsi tujuan yang dioptimumkan. Bentuk umum dari fungsi tujuan (objektif) tersebut adalah sebagai berikut:

z = f(x, y)= ax + by dengan a, b bilangan real, a ≠ 0 dan b ≠ 0.

Pada Ilustari 1, fungsi objektif yang ingin diminimumkan adalah

dan fungsi kendalanya adalah :

Tujuan dari permasalahan tersebut adalah menentukan banyaknya kapsul dan tablet yang harus dibeli agar biaya yang dikeluarkan minimun untuk memnuhi kebutuhan bayi sesuai anjuran dokter. Untuk menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) fungsi objektif ini dapat digunakan dua metode, yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik.

a. Metode uji titik pojok

Langkah-langkah dalam menentukan nilai optimum masalah program linear dengan fungsi tujuan

z = f(x, y) = ax + by

menggunakan metode uji titik pojok sebagai berikut.

1. Buat model matematika dari masalah program linear yang diberikan.

2. Gambarlah grafik-grafik dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel yang diketahui dan tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang terdapat dalam permasalahan (irisan dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan)

3. Tentukan titik-titik pojok dari daerah himpunan penyelesaiannya.

4. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu kedalam fungsi objektif.

5. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukan nilai maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukan nilai minimum dari fungsi f(x, y).

Dalam ilustrasi 1, kita akan meminimumkan pengeluaran biaya untuk memenuhi kebutuhan balita dengan fungsi objektif

Langkah-langkah penyelesaian:

1) Membuat model matematika

Dari ilustari 1 diperoleh model matematika:

Fungsi objektif:

Meminimumkan fungsi

2) Menggambar grafik dari setiap pertidaksamaan yang diketahui dan menentukan daerah himpunan penyelesaiannya

Gambar 12. Grafik daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan

3) Menentukan titik pojok

Titik-titik pojoknya adalah A, B, dan C

· Titik A adalah titik potong garis 5x + 2y = 60 dan sumbu y titik A(0, 30)

· Titik B adalah perpotongan garis 5x + 2y = 60 dan x + y = 15

Mencari titik B dengan eliminasi.

Eliminasi x.

Eliminasi y.

Diperoleh koordinat titik B(10, 5)

· Titik C adalah titik potong garis x + y = 15 dan sumbu x titik C(15, 0)

4) Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu kedalam fungsi objektif.

Uji titik pojok daerah penyelesaian ke fungsi objektif

Titik pojok
A(0, 30)	1000 . 0 + 800 . 30 = 24. 000
B(10, 5)	1000 . 10 + 800 . 5 = 14. 000
C( 15, 0)	1000 . 15 + 800 . 0 = 15. 000

Nilai f(x,y) minimumnya adalah Rp. 14. 000, 00.

Jadi, biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah Rp. 14. 000, 00.

b. Metode garis selidik

Pada dasarnya, metode garis selidik dilakukan dengan cara menggeser gsrids selidik secara sejajar ke arah kiri, kanan, atas, atau bawah sampai garis tersebut memotong titik-titik sudut daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Jika bentuk umum fungsi objektif dinotasikan dengan z = f(x, y)= ax + by maka bentuk umum garis selidik dinotasikan dengan ax + by = k, dengan k € R.

Untuk fungsi objektif maksimum, titik optimum dicapai jika semua himpunan penyelesaian dari kendala-kendala sistem pertidaksamaan linear dua variabel berada dibawah atau sebelah kiri garis selidik. Sedangkan untuk fungsi objektif minimum, titik optimum dicapai jika semua himpunan penyelesaian berada di atas atau sebelah kanan garis selidik dengan syarat koefisien y harus positif (b > 0). Jika koefisien y negatif (b < 0), maka berlaku sebaliknya.

Langkah-langkah dalam menentukan nilai optimum dari masalah program linear dengan fungsi tujuan z = f(x, y)= ax + by, menggunakan metode garis selidik adalah sebagai berikut.

1. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan.

2. Tentukan fungsi objektif dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

3. Gambar garis-garis selidik fungsi objektif pada koordinat kartesius.

4. Untuk mendapatkan nilai maksimum, carilah garis yang memotong titik yang jaraknya terbesar terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian.

5. Untuk mendapatkan nilai minimum, carilah garis yang memotong titik yang jaraknya terkecil terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian.

Untuk mempermudah anda dalam memahami metode garis selidik, perhatikan gambar berikut.

Gambar 13. Grafik daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi suatu sistem pertidaksamaan

Berdasarkan gambar tersebut titik A merupakan titik yang meminimumkan fungsi tujuan (objektif) dan titik D merupakan titik yang memaksimumkan fungsi objektif.

Perhatikan kembali ilustarsi 1, dalam permasalahan tersebut fungsi objektifnya

adalah dan fungsi kendalanya adalah :

Langkah-langkah penyelesaian menggunakan metode garis selidik:

1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian

Gambar 14. Grafik daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan

2. Fungsi objektif dari sistem pertidaksamaan di atas adalah

f(x, y) = 1000x + 800y

3. Bentuk umum garis selidik ax + by ↔ 1000x + 800y = 800.000

Gambar 15. Grafik garis selidik pada daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan

Setelah garis selidik digeser sejajar ke kiri, memotong titik terdekat terhadap titik pusat O(0, 0), yaitu di titik B. Koordinat titik setelah dicari adalah B(10, 5).

Dengan demikian, nilai optimum fungsi objektif z = f(x, y) = 1000x + 800y dicapai dititik B(10, 5) maka:

f(x, y) = 1000x + 800y

f(10, 5) = 1000. 10 + 800. 5

= 14.000

Berbeda halnya jika yang dicari adalah nilai maksimum, setelah garis selidik digeser sejajar memotong titik terjauh terhadap titik pusat O(0, 0), yaitu di titik A(0, 30).

6. Latihan Soal

a. Gunakan metode uji titik pojok untuk menyelesaikan permasalahan berikut ini.

1) Di sebuah toko seorang karyawati menyediakan jasa membungkus kado. Sebuah kado jenis A membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 2 m pita. Sebuah kado jenis A membutuhkan 2 lembar pembungkus dan 1 m pita. Tersedia kertas pembungkus 40 lembar dan pita 30 m. Jika upah membungkus kado jenis A Rp 2.500,00 perbuah dan kado jenis B Rp 2.000,00 perbuah, banyak kado jenis A yang harus dibungkus agar memperoleh upah maksimum adalah ....

Penyelesaian :

Misalkan : x = banyak kado jenis A

y = banyak kado jenis B

Jenis	Banyak	Kertas	Pita	Upah
Kado A	x	2	2	2.500
Kado B	y	2	1	2000
Pembatas		40	30

Diperoleh model matematika :

Memaksimumkan f(x, y) = 2. 500 x + 2000 y dengan kendala :

Daerah penyelesaianSPtLDV:

Gambar 16. Grafik daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan

Titik-titik pojoknya adalah A, B, dan C

· Titik A adalah titik potong garis 2x + y = 30 dan sumbu x titik A(15, 0)

· Titik B adalah perpotongan garis 2x + y = 30 dan x + y = 20

Mencari titik B dengan eliminasi.

Eliminasi x.

Eliminasi y.

Diperoleh koordinat titik B(10, 10)

· Titik C adalah titik potong garis x + y = 20 dan sumbu y titik C(0, 20)

· Titik pusat O(0, 0)

Uji titik pojok daerah penyelesaian ke fungsi objektif

Titik pojok
O(0, 0)	2.500 . 0 + 2000 . 0 = 0
A(15, 0)	2.500 . 15 + 2000 . 0 = 37.500
B(10, 10)	2.500 . 10 + 2000 . 10 = 45.000
C( 0, 20)	2.500 . 0 + 2000 . 20 = 40.000

Nilai f(x,y) maksimum adalah Rp. 45. 000, 00 dan dicapai di titik B (10, 10).

Jadi, agar memperoleh upah maksimum, karyawati tersebut harus membungkus 10 kado jenis A.

2) Penjahit “ hidan pantes” akan membuat pakaian wanita dan pria. Untuk membuat pakaian wanitadibutuhkan kain bergaris 2 m dan kain polos 1 m. Untuk membuat pakaian pria dibutuhkan kain bergaris 1 m dan kain polos 2 m. Penjahit hanya memiliki persediaan kain bergaris dan kain polos sebanyak 36 m dan 30 m. Jika pakaian wanita dijual Rp. 150.000,00 dan pakaian pria dijual dengan harga Rp. 100.000,00, pendapatan maksimum yang didapat adalah.....

Penyelesaian :

Misalkan : x = banyak pakaian wanita yang dibuat

y = banyak pakaian pria yang dibuat

Jenis	Banyak	Kertas	Pita	Upah
Wanita	x	2	1	150.000
Pria	y	1	2	100.000
Pembatas		36	30

Diperoleh model matematika :

Memaksimumkan f(x, y) = 150.000 x + 100. 000 y dengan kendala :

Daerah penyelesaianSPtLDV:

Gambar 17. Grafik daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan

Titik-titik pojoknya adalah A, B, C dan O

· Titik A adalah titik potong garis x + 2y = 30 dan sumbu y titik A(0, 15)

· Titik B adalah perpotongan garis x + 2y = 30 dan 2x + y = 36

Mencari titik B dengan eliminasi.

Eliminasi x.

Eliminasi y.

Diperoleh koordinat titik B(14, 8)

· Titik C adalah titik potong garis 2x + y = 36 dan sumbu x titik C(18, 0)

· Titik pusat O(0, 0)

Uji titik pojok daerah penyelesaian ke fungsi objektif

Titik pojok
O(0, 0)	150.000 . 0 + 100.000 . 0 = 0
A(0, 15)	150.000 . 0 + 100.000 . 15 = 1.500.000
B(14, 8)	150.000 . 14 + 100.000 . 8 = 2.900.000
C( 18, 0)	150.000 . 18 + 100.000 . 0 = 2.700.000

Nilai f(x,y) maksimum adalah Rp. 2.900. 000, 00

Jadi, pendapatan maksimum yang diperoleh penjahit tersebut adalah Rp. 2.900. 000, 00

b. Gunakan metode garis selidik untuk menyelesaikan permasalahan berikut ini.

1) Cokelat A yang harganya Rp. 600,00 per bungkus dijual dengan laba Rp. 80,00 per bungkus. Cokelat B harganya Rp. 1.000,00 perbungkus dijual dengan laba Rp. 125,00 perbungkus. Modal yang dimili pedagang adalah Rp. 300.000,00 dan kotak tempat menjual cokelat mampu membuat 350 bungkus. Tentukan:

a. Laba maksimum yang dapat diperoleh pedagang,

b. Banyaknya cokelat A dan B yang harus dibeli pedagang agar dapat diperoleh laba yang maksimum.

Penyelesaian :

Diketahui fungsi objektif f(x, y) = 80 x + 125 y

Dengan kendala :

Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut sebagai berikut:

Gambar 18. Grafik daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan

Fungsi tujuan dari maslah program linear tersebut adalah f(x, y) = 80 x + 125 y. Bentuk umum garis selidiknya ax + by = k sehingga :

Fungsi garis selidiknya adalah 80x + 125y = 10.000 atau 16x + 25y = 2.000

Gambar 19. Grafik garis selidik pada daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan

Oleh karenan yang dicari adalah nilai maksimum maka geser garis selidik ke kanan. Setelah garis selidik digeser sejajar ke kanan, memotong titik terjauh terhadap titik pusat O(0, 0), yaitu di titik B. Koordinat titik setelah dicari adalah B(125, 225).

Dengan demikian, nilai optimum fungsi objektif z f(x, y) = 80 x + 125 y dicapai dititik B(125, 225) maka:

f(x, y) = 80 x + 125 y

f(125, 225) = 80. 125 + 125. 225

= 10.000 + 28. 125

= 38. 125

Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan f(x, y) = 80 x + 125 y adalah Rp. 38. 125, 00

Jawaban:

a. Laba maksimum yang di dapat pedagang adalah Rp. 38. 125, 00

b. Banyak cokelat A ada 125 bungkus dan cokelat B 225 bungkus

DAFTAR PUSTAKA

Buku Guru Matematika SMA/MA Kelas X . 2014. Jakarta : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.

E. S, Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika Aplikasi untuk SMA dan MA Kelas XII Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan.

Geri Achmadi, dkk. 2008. Mahir Matematika untuk Kelas XII SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan.

Gumelar, Senja Hendi. 2008. Matematika Kelompok Seni dan Teknologi Rumahan untuk Kelas X SMK. Jakarta: Pusat Perbukuan.

Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika untuk Kelas . Jakarta: Erlangga.

Yuliatmoko, Pangarso dan Dewi Retno Sari S. 2008. Matematika untuk SMA dan MA XII Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan.

Duniaku

Kamis, 05 Januari 2017

SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAK SAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

DAFTAR ISI

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

3. Merancang Model Matematika yang Berentuk SPLDV

4. Latihan Soal

B. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (Sptldv)

1. Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)

2. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)

3. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SptLDV)

4. Model Matematika

5. Fungsi Optimum Suatu Fungsi Objektif

6. Latihan Soal

DAFTAR PUSTAKA

1 komentar:

Arsip Blog